Matemática básica Ejemplos

$y = \frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$ .

$\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$

Paso 2

Multiplicación cruzada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}}) = 4$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica $y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y \cdot \sqrt{4^{2} - z^{2}} = 4$

Paso 2.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = z$ .

$y \sqrt{(4 + z) (4 - z)} = 4$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(y \sqrt{(4 + z) (4 - z)})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(4 + z) (4 - z)}$ como ${((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica ${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Expande $(4 + z) (4 - z)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(y {(4 (4 - z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

${(y {(16 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

${(y {(16 - 4 z + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.2.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 \cdot z + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z \cdot z)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.2.1.5

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1.5.1

Mueve $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - (z \cdot z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.2.1.5.2

Multiplica $z$ por $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $- 4 z$ y $4 z$ .

${(y {(16 + 0 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.2.3

Suma $16$ y $0$ .

${(y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.3

Aplica la regla del producto a $y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} {({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{1} = 4^{2}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica.

$y^{2} (16 - z^{2}) = 4^{2}$

Paso 4.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 16 + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Paso 4.2.1.7

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.7.1

Mueve $16$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$16 \cdot y^{2} + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Paso 4.2.1.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 4^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 16$

Paso 5

Resuelve $z$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Resta $16 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$

Paso 5.2

Divide cada término en $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ por $- y^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Divide cada término en $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ por $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} z^{2}}{- y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $z^{2}$ por $1$ .

$z^{2} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 16}{- 1}$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - 1 \cdot - 16$

Paso 5.2.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot - 16$ como $- - 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - - 16$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + 16$

Paso 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$

Paso 5.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Factoriza $16$ de $- \frac{16}{y^{2}} + 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Factoriza $16$ de $- \frac{16}{y^{2}}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16}$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $16$ de $16$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)}$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $16$ de $16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1)}$

Paso 5.4.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1^{2})}$

Paso 5.4.2.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(\frac{1}{y})}^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- {(\frac{1}{y})}^{2} + 1^{2})}$

Paso 5.4.2.3

Reordena $- {(\frac{1}{y})}^{2}$ y $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1^{2} - {(\frac{1}{y})}^{2})}$

Paso 5.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1 + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Paso 5.4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$z = \pm \sqrt{16 (\frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Paso 5.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (1 - \frac{1}{y})}$

Paso 5.4.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Paso 5.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} \frac{y - 1}{y}}$

Paso 5.4.8

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.8.1

Combina $16$ y $\frac{y + 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1)}{y} \cdot \frac{y - 1}{y}}$

Paso 5.4.8.2

Multiplica $\frac{16 (y + 1)}{y}$ por $\frac{y - 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y \cdot y}}$

Paso 5.4.8.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y}}$

Paso 5.4.8.4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y^{1}}}$

Paso 5.4.8.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1 + 1}}}$

Paso 5.4.8.6

Suma $1$ y $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}}$

Paso 5.4.9

Reescribe $\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}$ como ${(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.9.1

Factoriza la potencia perfecta ${(2^{2})}^{2}$ de $16 (y + 1) (y - 1)$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2}}}$

Paso 5.4.9.2

Factoriza la potencia perfecta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.4.9.3

Reorganiza la fracción $\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$z = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}$

Paso 5.4.10

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \pm \frac{2^{2}}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$z = \pm \frac{4}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.12

Combina $\frac{4}{y}$ y $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$z = \pm \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Paso 5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Paso 5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Paso 5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$